z-transformanalys av tidsdiskreta LTI-system

Se videon på YouTube

(Nedan finns direktlänkar till olika delar i videon.)

Användning av $z$-transformen för beräkning av utsignalen från tidsdiskreta LTI-system – med en härledning och ett exempel på utsignalberäkning.
I slutet av videon beskrivs pol-nollställediagram för $z$-transformer.

• Lämpliga val av basfunktioner $x_m[n]$ för att beskriva tidsdiskreta signaler $x[n]$:
  • Ett inledande resonemang (0:00)
  • $(z_m)^n$ som lämpliga basfunktioner (3:04)
  • Inversa $z$-transformen som beskrivning av tidsdiskreta signaler $x[n]$, vilket leder till $z$-transformsambandet $Y_{zs}[z] = X[z] \cdot H[z]$,
    • där $H[z]$ är LTI-systemets systemfunktion (10:17)
• Ett räkneexempel – beräkning av utsignalen $y[n]=y_{zs}[n]$ från ett tidsdiskret LTI-system med hjälp av $z$-transformen (16:47)
  • Själva systemfunktionen $H[z] := \frac{Y_{zs}[z]}{X[z]}$ definieras från 17:40
• Pol-nollställediagram för $z$-transformer (28:11)
  
  

Videosammanfattning

Följ med i videosammanfattningen i samband med att du tittar på videon!

• Lämpliga val av basfunktioner $x_m[n]$ för att beskriva tidsdiskreta signaler $x[n]$:
  • Ett inledande resonemang (0:00)
  • $(z_m)^n$ som lämpliga basfunktioner (3:04)
    
    
    

• Inversa $z$-transformen som beskrivning av tidsdiskreta signaler $x[n]$, vilket leder till $z$-transformsambandet $Y_{zs}[z] = X[z] \cdot H[z]$,
  • där $H[z]$ är LTI-systemets systemfunktion (10:17).
    (Systemfunktionen definieras först från ca 17:40 – se nedan)
    
    
    

• Ett räkneexempel – beräkning av utsignalen $y[n]=y_{zs}[n]$ från ett tidsdiskret LTI-system med hjälp av $z$-transformen (16:47)
  • I räkneexemplet beräknas $y_{zs}[n]$ som den inversa $z$-transformen av $Y_{zs}[z] = X[z] \cdot H[z]$,
    där det tidsdiskreta LTI-systemets systemfunktion $H[z] := \frac{Y_{zs}[z]}{X[z]}$ definieras från 17:40.
  • I videoavsnittet ovan beräknas $X[z]$ och $H[z]$.
    
    
    

• Avslutning av räkneexemplet – partialbråksuppdela $Y_{zs}[z]$ och inverstransformera (från 24:01)
  
  Tips:
  I stället för att partialbråksuppdela $Y_{zs}[z]$ inför en inverstransformering, så brukar det vara enklare att i stället partialbråksuppdela $\frac{Y_{zs}[z]}{z}$, för att därefter multiplicera tillbaka $z$ igen. Det går vanligen bra, eftersom de flesta vanliga/intressanta $z$-transformer innehåller ett $z$ i täljaren.
  (Om det inte finns ett $z$ i täljaren, så multiplicera först både täljaren och nämnaren hos $Y_{zs}[z]$ med $z$ innan $\frac{Y_{zs}[z]}{z}$ partialbråksuppdelas.)
  
  
  

• Pol-nollställediagram för $z$-transformer (28:11)
  Här ritas pol-nollställediagrammen för räkneexemplets $X[z]$, $H[z]$ och $Y_{zs}[z]$.
  
  

Eftersom de vanligaste $z$-transformerna kan skrivas som ett rationellt polynom av $z$, dvs. som ett täljarpolynom av $z$ delat med ett nämnarpolynom av $z$, så kan vi beskriva sådana $z$-transformer (nästan alla som vi stöter på i den här kursen) grafiskt med hjälp av pol-nollställediagram.

Pol-nollställediagrammen för $z$-transformer används alltså på samma sätt som för laplacetransformer – men här håller vi till i $z$-planet i stället för $s$-planet. Därför blir konvergensområdet för en $z$-transform innanför eller utanför en viss radie i $z$-planet, eller mellan två radier.

Avslutningsvis nämner jag i videon varför enhetscirkeln $|z|=1$ är särskilt viktig för $z$-transformen. Om enhetscirkeln ligger i $z$-transformens konvergensområde, så existerar även motsvarande fouriertransform:

• Fouriertransformen av en tidsdiskret funktion är lika med $z$-transformen av funktionen beräknad längs enhetscirkeln, på motsvarande sätt som fouriertransformen av en tidskontinuerlig funktion är lika med laplacetransformen av funktionen längs $j \omega$-axeln.
  (Detta kommer att tas upp i den avslutande föreläsningen.)