Faltning – beräkning av zero-state response $y_{zs}(t)$ från ett LTI-system

Se videon på YouTube

(Nedan finns direktlänkar till olika delar i videon.)

I denna video härleds faltningsintegralen, som används för att beräkna zero-state-komponenten $y_{zs}(t)$ hos LTI-systemets utsignal.

• Härledning, utgående från att insignalen beskrivs som en Riemannsumma (0:00)
• Definition av impulssvaret $h(t)$ samt faltningsintegralen (22:03)
  
  
  

Videosammanfattning

Följ med i videosammanfattningen i samband med att du tittar på videon!

Bild 1 (av 4), från början:

De första 22 minuterna i videon (= Bild 1 ovan samt Bild 2 & 3 nedan) är en motiverande inledning/härledning inför det som kommer i slutet av videon – impulssvaret $h(t)$ och faltningsintegralen (Bild 4).

Härledningen examineras inte, så du behöver inte lära dig något utantill, men syftet denna inledning/härledning är att du ska få en känsla och förståelse för faltning. Själva faltningen är “bara” en integral som ska lösas, men här får du veta mer om hur den uppstår.

Bild 2 (av 4), från 8:07:

Bild 3 (av 4), från 15:00:

Den huvudsakliga inledningen/härledningen pågår fram till slutet av videoavbilden ovan (Bild 3) – videons första 22 minuter.

Den viktigaste delen av videon, som du behöver ha förståelse för, är den avslutande delen som visas i Bild 4 nedan.

Bild 4 (av 4), från 22:03:

I denna sista del av videon (från 22:03) introduceras systemets impulssvar $h(t)$ och faltningsintegralen för LTI-system definieras.

Om man känner impulssvaret $h(t)$ för ett LTI-system så kan man, för varje insignal $x(t)$, beräkna utsignalens zero-state-komponent $y_{zs}(t)$ med hjälp av faltning.

• Vid beräkning av faltning är det viktigt att känna till och förstå de olika faltningsegenskaperna i slutet av videon – bland annat att faltningsoperationen är kommutativ. Konsekvensen blir att det finns två faltningsintegraler;

  1. den som är inrutad i mitten av skärmdumpen ovan och
  2. den som är understruken nere till höger (p.g.a. kommutativiteten).
     
     

• Vid faltningsberäkningar, som jag kommer att ge exempel på under föreläsningen som följer efter denna video, så rekommenderas du att alltid rita de två funktionerna $x(\tau)$ och $h(t-\tau)$ (respektive $x(t-\tau)$ och $h(\tau)$) för olika intervall på $t$.
  Det motiverar å ena sidan dina beräkningar på ett tydligt sätt, men gör det även oftast enklare för dig att beräkna faltningen. Detta brukar kallas för grafisk faltning. Mer om detta på föreläsningen om faltning.
  
  

• Notera att faltningsintegralen alltid kan användas för att beräkna zero-state-komponenten, men integralen konvergerar bara om

  1. minst en av $x(t)$ och h (t) är absolutintegrerbar
  2. och den andra funktionen är åtminstone begränsad.