Allmänna passiva filter

Se videon på YouTube

(Nedan finns direktlänkar till olika delar i videon.)

En beskrivning av vad som sker i laplacetransformdomänen när ett LTI-system påverkar (filtrerar) en insignal $x(t)$. Var polerna och nollställena till systemfunktionen $H(s)$ placeras, i förhållande till polerna hos insignalens laplacetransform $X(s)$, påverkar hur motsvarande insignalstermer förstärks, dämpas eller helt filtreras bort.

• Inledning, passiv filtrering (0:00)
• Exempel 1:
  • Relationen mellan en signal $x(t)$ i tidsdomänen och motsvarande pol(er) hos dess laplacetransform $X(s)$ (1:12)
  • Systemfunktionen $H(s)$ och impulssvaret $h(t)$ för ett LTI-system av ordning 1 (2:25)
  • Utsignalens laplacetransform $Y(s) = Y_{zs}(s) = X(s)H(s)$: Resonemang om hur placeringen av systemfunktionens pol påverkar systemets förstärkning av insignalen (4:30)
• Exempel 2:
  • Placering av poler och nollställen hos systemfunktionen för att systemet ska filtrera bort en insignalskomponent (11:25)
    
    

Videosammanfattning

Följ med i videosammanfattningen i samband med att du tittar på videon!

Videon beskriver vad som sker i laplacetransformdomänen när ett LTI-system påverkar (filtrerar) en insignal $x(t)$.
Var polerna och nollställena till systemfunktionen $H(s)$ placeras, i förhållande till polerna hos insignalens laplacetransform $X(s)$, påverkar hur motsvarande insignalstermer förstärks, dämpas eller helt filtreras bort.

Exempel 1 ovan, efter en kort inledning på 70 sek om passiv filtrering:

• Från 1:12 – Relationen mellan en signal $x(t)$ i tidsdomänen och motsvarande pol(er) hos dess laplacetransform $X(s)$.
• Från 2:25 – Systemfunktionen $H(s)$ och impulssvaret $h(t)$ för ett system av ordning 1.
• Från 4:30 – Utsignalens laplacetransform $Y(s) = Y_{zs}(s) = X(s)H(s)$:
  Resonemang om hur placeringen av systemfunktionens pol påverkar systemets förstärkning insignalen.
  
  

Förtydligande av det som står längst ned till höger i skärmdumpen:
Systemet förstärker insignalen mer om

• |B| ökar – dvs. systemets nivåkonstant/förstärkningsfaktor ökar
  eller
• |Δp| minskar – dvs. avståndet mellan polen hos $X(s)$ och polen hos $H(s)$ minskar, dvs. när polen hos $H(s)$ flyttas närmare polen hos $X(s)$. Just detta är ett centralt resultat att lägga på minnet!
  
  

Viktigt: I kursen betraktar vi passiva filter/LTI-system, vilket innebär att vi inte kan få ut mer energi hos utsignalen än vi stoppar in med insignalen. En eventuell förstärkning/energiökning av insignalstermen i videon kompenseras därför genom en subtraktion av en skalad $h(t)$-term, se uttrycket för $y(t)$ i skärmdumpen från videon ovan.

I videons inledande Exempel 1 visas hur poler hos systemfunktionen $H(s)$ bör placeras för att förstärka en viss insignalsterm.
Skärmdumpen ovan visar Exempel 2 (från 11:25) och handlar om var man ska placera nollställen hos $H(s)$ för att systemet i stället ska filtrera bort en särskild komponent/term hos insignalen – i detta fall den exponentiellt avtagande sinustermen.

Eftersom varje termtyp i insignalen $x(t)$ motsvaras av en viss position av motsvarande pol(er) hos dess laplacetransform $X(s)$, så kan systemet filtrera bort en sådan signalterm genom att placera nollställe(n) hos systemfunktionen $H(s)$ i samma position(er).

Slutet av exemplet handlar om att systemet även behöver ha minst lika många poler som antalet nollställen – annars blir inte systemet stabilt.

Detta med att placera ut nollställen för att helt filtrera bort signaltermer, eller för att i viss utsträckning dämpa signaltermer hos insignalen, är ingen princip för filterkonstruktion som används generellt. Den funkar bra för hantering av specifika signaltermer, men är
inte lika användbar om man vill utföra en viss filtrering av en större klass av signaler – som till exempel allmänna frekvenssignaler.
Då använder man en annan princip för sin filterdesign, vilket nästa video är en inledning till – frekvensselektiva filter.