Lösning av en differentialekvation med hjälp av laplacetransformen

Se videon på YouTube

(Nedan finns direktlänkar till olika delar i videon.)

Här går jag igenom ett exempel på hur man löser en differentialekvation med begynnelsevillkor med hjälp av den enkelsidiga laplacetransformen.
Differentialekvationen beskriver förhållandet mellan utsignalen $y(t)$ och insignalen $x(t)$ för ett kausalt LTI-system, och för en given insignal beräknas den totala utsignalen $y(t) = y_{zi}(t) + y_{zs}(t)$:

• Problemformulering med definition av systemets zero-input response $y_{zi}(t)$ och zero-state response $y_{zs}(t) = (x*h)(t)$ (0:00)
• Laplacetransformering av differentialekvationen (1:31)
• $Y(s) = Y_{zi}(s) + Y_{zs}(s)$ (5:38)
• LTI-systemets systemfunktion $H(s) := Y_{zs}(s)/X(s)$ (7:34)
• Invers laplacetransformering av $Y(s)$ till $y(t) = y_{zi}(t) + y_{zs}(t)$ (9:30)
• Omskrivning till och jämförelse med $y(t) = y_h(t) + y_p(t)$, summan av differentialekvationens homogena lösning respektive partikulärlösning (18:04)
  
  

Videosammanfattning

Följ med i videosammanfattningen i samband med att du tittar på videon!

Här går jag igenom ett exempel på hur man löser en differentialekvation med begynnelsevillkor med hjälp av den enkelsidiga laplacetransformen.

Differentialekvationen beskriver förhållandet mellan utsignalen $y(t)$ och insignalen $x(t)$ för ett kausalt LTI-system, och för en given insignal beräknas den totala utsignalen $y(t) = y_{zi}(t) + y_{zs}(t)$:

• Problemformulering med definition av systemets zero-input response $y_{zi}(t)$ och zero-state response $y_{zs}(t) = (x * h)(t)$ (från 0:00)

• Laplacetransformering av differentialekvationen (från 1:31)

• $Y(s) = Y_{zi}(s) + Y_{zs}(s)$ (från 5:38)

• LTI-systemets systemfunktion $H(s) := Y_{zs}(s)/X(s)$ (från 7:34)
  

Systemfunktionen $H(s)$, som definieras i samband med lösandet av differentialekvationen, är mycket central vid vår kommande analys i kursen av tidskontinuerliga LTI-system!

• Om man bara vill beräkna systemfunktionen $H(s)$ för ett LTI-system som beskrivs av en differentialekvation (benämns ibland “den systembeskrivande differentialekvationen”), så utgår man från ett energifritt system (oavsett om systemet egentligen har en begynnelseenergi eller ej), dvs. man låter $y_{zi}(t)=0$.
• När man då laplacetransformerar differentialekvationen, så är därför $y(t)=y_{zs}(t)$, vilket medför att $Y(s) = Y_{zs}(s) = X(s)H(s)$ och följaktligen erhåller man systemfunktionen direkt som $H(s) = Y_{zs}(s)/X(s)$.
  Den dubbelsidiga laplacetransformen kan alltid användas och konvergensområdet för $H(s)$ bestäms därefter utgående från systemets kausalitetsegenskap eller stabilitetsegenskap (tas upp på den relaterade föreläsningen samt i videon “Stabilitetsrelationer för LTI-system”).
• Därefter kan t.ex. LTI-systems impulssvar $h(t)$ erhållas genom invers laplacetransformering av $H(s)$.
  
  

• Invers laplacetransformering av $Y(s)$ till $y(t) = y_{zi}(t) + y_{zs}(t)$ (från 9:30).

• Omskrivning till och jämförelse av $y_{zi}(t) + y_{zs}(t)$ med $y_h(t) + y_p(t)$, dvs. summan av differentialekvationens homogena lösning respektive partikulärlösning (från 18:04)

Vid beräkning av utsignalen från LTI-system, så föredrar man oftast att beräkna zero-input och zero-state response i stället för den homogena och partikulära lösningen. Det blir enklare beräkningar och är tydligare kopplat till fysikaliska system, med kännedom om begynnelsevärdena innan insignalen släpps på systemet (dvs. vid $t = 0-$, vilket behövs för att beräkna $y_{zi}(t)$) i stället för efter (dvs. vid $t = 0+$, vilket behövs för att beräkna både $y_h(t)$ och $y_p(t)$).
(I en tidigare föreläsning (Fö 2 för TSDT18/84) finns en powerpointbild som beskriver denna skillnaden mellan [zero-input + zero-state] och [homogen + partikulär lösning].)

När du i kursen stöter på en differentialekvationsbeskrivning av (oftast kausala) LTI-system med nollskilda begynnelsevillkor – dvs. systemet är inte energifritt då insignalen släpps på – så är det smidigast att lösa differentialekvationen (dvs. beräkna den totala utsignalen) med hjälp av laplacetransformen, så som jag visar i videon, och inte i tidsdomänen.
Oftast så kommer dock LTI-systemen att vara energifria, dvs. $y_{zi}(t)=0$, vilket gör att beräkningarna då blir lite enklare/kortare än här.