LTI-system med periodiska insignaler – Utsignalsberäkning

Se videon på YouTube

Här härleds hur utsignalen från stabila LTI-system beräknas då insignalen är periodisk.

Utöver en definition av LTI-systemets frekvensfunktion $H(\omega)$, så erhålls även ett viktigt samband:
Utsignalens komplexa fourierseriekoefficienter är lika med produkten av insignalens komplexa fourierseriekoefficienter och systemets frekvensfunktion vid diskreta vinkelfrekvenser.

Videosammanfattning

Notera den kompletterande texten nedan, i samband med att du tittar på videon!

De två inledande videorna som du har sett om periodiska signaler innan den här videon – Introduktion respektive Fourierserier – är av mer repetitionskaraktär, där du blir insatt i de beteckningar och den terminologi som används i samband med fourierserier i den här kursen – och i allmänna signalbehandlingssammanhang.

I den här videon kommer vi in på hur vi hanterar periodiska insignaler och utsignaler för LTI-system.

I introduktionsvideon uttrycktes den periodiska insignalen som en komplex fourierserie och avslutades med frågan hur utsignalen för en komplex exponentialekvation ser ut, dvs. det $y_n(t)$ som står längst uppe till höger i skärmdumpen ovan.

• I den här videon beräknas först denna utsignalskomponent $y_n(t)$.
• I samband med den beräkningen definieras LTI-systemets frekvensfunktion.
• För ett stabilt LTI-system kommer utsignalen $y_\text{zs}(t)$ också att bli periodisk med samma periodtid som insignalen $x(t)$ - se det inrutade sambandet nere till vänster i bilden ovan.
• Slutligen erhålls ett viktigt allmänt samband i frekvensdomänen mellan insignalens och utsignalens komplexa fourierseriekoefficienter:
  

Utsignalens komplexa fourierseriekoefficienter är alltså lika med produkten av insignalens komplexa fourierseriekoefficienter och systemets frekvensfunktion vid diskreta vinkelfrekvenser.

Nedanstående gäller endast studenter i TSBB32 Linjära system:

• När jag, från ca 3:20 i videon, säger att “ så här har vi alltså en integral som vi känner igen… det är ju en fouriertransform… “, så gäller den kommentaren för studenterna i två andra kurser i HT2 där mina videor också ingår. De studenterna har redan läst en kurs om transformer innan denna kurs, medan vi i TSBB32 kommer in på fouriertransformer i nästa föreläsning, den första föreläsningen i VT2. Du behöver därför inte fastna för länge vid själva transformresonemanget nu – du kommer att förstå detta mer senare.

• Under föreläsningen som relaterar till denna video räcker det att du förstår att $H(n\omega_0)$ är ett komplexvärt tal som beror på vinkelfrekvensen $\omega = n\omega_0$ och att detta utgör LTI-systemets skalning av den komplexa frekvenssignalen $e^{jn\omega_0t}$.

• Även definitionen av LTI-systemets frekvensfunktion $H(\omega)$ kommer tydligare i TSBB32 i början på VT2.