Fouriertransformanalys av ett LTI-system som beskrivs av en differentialekvation

Se videon på YouTube

(Nedan finns direktlänkar till olika delar i videon.)

Ett räkneexempel: För ett LTI-system, där förhållandet mellan utsignalen och insignalen beskrivs av en differentialekvation , så visas följande för LTI-systemet (klicka på tiderna för att komma direkt till motsvarande deluppgift a-d):

1. Frekvensfunktionen $H(\omega)$ beräknas (00:00)
2. Amplitudkaraktäristiken $|H(\omega)|$ skisseras och filtertypen anges (11:04)
3. Impulssvaret $h(t)$ beräknas och skisseras (20:16)
4. Kausalitetsegenskapen anges (26:08)
   
   

Videosammanfattning

Följ med i videosammanfattningen i samband med att du tittar på videon!

I videon går jag igenom ett större räkneexempel där fouriertransformen används som verktyg för att läsa de olika deluppgifterna. Följ med i beskrivningarna och skärmavbildningarna nedan, samtidigt som du ser på videon!
För LTI-systemet i videon beskrivs förhållandet mellan utsignalen $y(t)$ och insignalen $x(t)$ i en differentialekvation, och utgående från denna erhålls – med hjälp av fouriertransformen – det som efterfrågas i de olika deluppgifterna.

Uppgift a):
Frekvensfunktionen $H(\omega)$ beräknas (från 0:00).
Först nämner jag något om kravet på impulssvarets absolutintegrerbarhet för att frekvensfunktionen ska existera för LTI-systemet – se skärmavbildningen ovan.

Fortsättning, uppgift a) ovan:
En viktig/nödvändig transformegenskap: Derivering i tidsdomänen motsvaras av multiplikation med $j\omega$ i frekvensdomänen.

Fortsättning, uppgift a) ovan:
Här kommer vi slutligen fram till den efterfrågade frekvensfunktionen $H(\omega)$. Notera att vi alltid betraktar LTI-systemet som energifritt när frekvensfunktionen och/eller impulssvaret beräknas, även om det i en uppgift står att en differentialekvation har vissa initialtillstånd.

I videon erhålls $H(\omega)$ som $Y_{zs}(\omega)$ då $X(\omega)=1$, men notera att den formella definitionen av frekvensfunktionen till ett LTI-system (som du fortsättningsvis alltid kan/bör följa) är $H(\omega) :=Y_{zs}(\omega)/X(\omega)$ (som förstås kommer från sambandet $Y_{zs}(\omega) = X(\omega)H(\omega)$).

Uppgift b):
Amplitudkaraktäristiken $|H(\omega)|$ skisseras och filtertypen anges i skärmavbilden ovan (från 11:04)

Uppgift c):
Impulssvaret $h(t)$ beräknas och skisseras (från 20:16)

Uppgift d):
Kausalitetsegenskapen anges (från 26:08)