Den tidsdiskreta fouriertransformen

Se videon på YouTube

(Nedan finns direktlänkar till olika delar i videon.)

I videoklippet härleds först fouriertransformen av en tidsdiskret signal som ett specialfall av $z$-transformen av signalen.
Videon avslutas sedan med ett räkneexempel.

• 0:00: Referens till en annan video, “Relationen mellan fouriertransformen och laplacetransformen” som kursens TSDT84-studenter (D & I/Ii) redan har sett i HT1. Läs mer i videosammanfatningen nedan, innan du eventuellt först ser den videon!
• 0:25: Jämförelse mellan laplacetransformen av $x(t) = \text{cos}(\omega_0 t)u(t)$ och $z$-transformen av den samplade $x[n] = x(nT) = \text{cos}(\Omega _n)u[n]$. Jämförelsen handlar speciellt polernas lägen.
  • (Från 1:03 pratar jag om $\text{cos}(\Omega_0 n)u[n]$, men till vänster i videon finns ett skrivfel:
    Det står $\text{cos}(\Omega_0 t)u[n]$, men det ska förstås vara “$n$” och inte “$t$” i uttrycket.)
• 4:06: Jämförelse mellan laplacetransformen av $x(t) = e^{-at}\text{cos}(\omega_0 t)u(t)$ och $z$–transformen av $x[n] = x(nT) = \gamma^n \text{cos}(\Omega_0 n)u[n]$ – speciellt polernas lägen.
• 9:53: Fouriertransformen $X[\Omega]$ av en tidsdiskret signal $x[n]$.
• 12:35: Ett räkneexempel – fouriertransformen av $x[n] = 0.8^n u[n]$.
  • Amplitudspektrum $\lvert X[\Omega] \rvert$ (13:40)
  • Fasspektrum $\text{arg } X[\Omega]$ (15:43)
    
    

Videosammanfattning

Följ med i videosammanfattningen i samband med att du tittar på videon!

Under videons första halvminut hänvisar jag till en annan video som man kan se innan denna – “ Relationen mellan fouriertransformen och laplacetransformen” av tidskontinuerliga signaler – som TSDT84-studenter redan sett i HT1. Det är inte nödvändigt för de flesta i kursen att se den videon, den bör vara ren repetition för alla studenter i kursen vi det här laget, men den kan vara lämplig att se som repetition för att lättare förstå motsvarande relation mellan fouriertransformen och $z$-transformen av tidsdiskreta signaler.

Det viktigaste som du ska ta med dig, innan du ser den här videon om den tidsdiskreta fouriertransformen, sägs i slutet av videon – från ca 14:48:

• Fouriertransformen är lika med laplacetransformen längs $j\omega$-axeln i $s$-planet, dvs. $X(\omega) = X(s)|_{s=j\omega}$
  och
• Frekvenssignaler med vinkelfrekvens $\omega_0$ relateras till punkterna $s = \pm j\omega_0$ på $j\omega$-axeln.
  
  

• 0:25: Jämförelse mellan laplacetransformen av $x(t) = \text{cos}(\omega_0 t)u(t)$ och $z$-transformen av den samplade $x[n] = x(nT) = \text{cos}(\Omega _n)u[n]$.
  Jämförelsen handlar speciellt polernas lägen.
• 4:06: Jämförelse mellan laplacetransformen av $x(t) = e^{-at}\text{cos}(\omega_0 t)u(t)$ och $z$–transformen av $x[n] = x(nT) = \gamma^n \text{cos}(\Omega_0 n)u[n]$ – speciellt polernas lägen.
  

Fokuset i den här inledningen ligger i förståelsen att $j\omega$-axeln i $s$-planet motsvaras av enhetscirkeln i $z$-planet. Detta nämndes även i slutet videon “z-transformanalys av tidsdiskreta LTI system” (från 32:35), som du ska ha sett innan denna video, men här inleder jag med detta resonemang för att i nästa del av videon (nedan) komma fram till fouriertransformen av $x[n]$.

• 9:53 – Definition: Fouriertransformen $X[\Omega]$ av en tidsdiskret signal $x[n]$.
  Bokens beteckning: $X(\Omega) = \text{DTFT} \left( x[n] \right)$.
  OBS: DTFT (Discrete Time Fourier Transform) är inte samma som DFT (Discrete Fourier Transform).
  
  
  

• 12:35: Ett räkneexempel – fouriertransformen av $x[n] = 0.8^n u[n]$.
  • Amplitudspektrum $\lvert X[\Omega] \rvert$ (13:40)

  • Fasspektrum $\text{arg } X[\Omega]$ (15:43)
    

  • I bilden ovan har jag även lagt till nollstället hos $X[z]$ i origo, vilket inte med i videon. Nollställen och poler i origo påverkar dock inte $|X[\Omega]|$, eftersom avståndet från origo till godtycklig punkt på enhetscirkeln är lika med 1.
    
    
• Fouriertransformen för tidsdiskreta funktioner är vanligen lite jobbig att räkna med – den känns oftast inte lika intuitiv och smidig att räkna med som $z$-transformen. Därför är det vanligare att använda $z$-transformen när det går, för att sedan gå över till fouriertransformen när det behövs – genom variabelsubstitutionen $z_ = e^{j\Omega}$, under förutsättning att enhetscirkeln ligger i $z$-transformens konvergensområde. Det gör vi speciellt när vi är intresserad av en signals amplitud- och/eller fasspektrum eller ett LTI-systems amplitud- och/eller faskaraktäristik.