Diskreta fouriertransformen, DFT

Se videon på YouTube

(Nedan finns direktlänkar till olika delar i videon.)

Härledning av den diskreta fouriertransformen, DFT, och motsvarande inverstransform IDFT. Härledningen bygger på egenskapen att en sampling i tidsdomänen resulterar i en periodisk upprepning i frekvensdomänen och vice versa.

Den första halvan av videon utgör en motiverande bakgrund till DFT:n, som bland annat syftar till att ge en intuitiv förståelse för varför DFT:n och IDFT:n “ser ut” som de gör. Detta är en utvidgning av tidigare moment i Signaler & system-kursen:

• 0:00 – Sampling av tidssignalen $x(t)$, vilket ger $x[n]$, resulterar i en periodisering av dess fouriertransform (frekvensspektrum) $X(\omega)$.
• 15:16 – Sampling av fouriertransformen $X(\omega)$ resulterar i en periodisering av dess inverstransform $x(t)$.
  
  

I den andra halvan av videon kommer vi in på den diskreta fouriertransformen och dess invers – DFT & IDFT:

• 24:21 – Sampling av en periodisk tidskontinuerlig signal resulterar i en periodisering av dess frekvensdiskreta spektrum, dvs. dess fourierseriekoefficienter.
  • Detta samband ger att den samplade periodiska signalen utgör en invers diskret fouriertransform, IDFT.
• 39:37 – Sampling av den periodiska frekvenskontinuerliga fouriertranformen av $x[n]$ resulterar i en periodisering av $x[n]$.
  • Detta samband ger att det samplade periodiska frekvensspektrumet utgör en diskret fouriertransform, DFT.
    
    

Videosammanfattning

Följ med i videosammanfattningen i samband med att du tittar på videon!

Från 0:00: Inledningsvis utgår vi från tidsdomänen, där vi har en tidskontinuerlig signal $x(t)$, som har ett frekvenskontinuerligt spektrum (en fouriertransform) $X(\omega)$. Här visas det som vi redan känner till från föregående föreläsning:

1. När $x(t)$ samplas med sampelperioden $T$ sek, så erhålls den tidsdiskreta signalen $x[n]$, med frekvenskontinuerlig fouriertransform $\overline X(\omega)$.
2. Som en konsekvens av samplingen i tidsdomänen, så sker en periodisering i frekvensdomänen, sådan att $\overline X(\omega)$ är lika med en skalad periodisk upprepning av $X(\omega)$. Perioden är lika med $\omega_s=2\pi/T$ och är därför proportionell mot 1/sampelperioden (dvs. $\omega_s\propto1/T$).
   
   Detta känner vi igen, från föregående föreläsning, som Poissons summationsformel.
   Om samplingsteoremet är uppfyllt så sker inget överlapp av de periodiska upprepningarna i frekvensdomänen.
   
   
   

Från 15:16 undersöks/härleds i stället vad som händer i tidsdomänen när man samplar i frekvensdomänen. Vi utgår från samma förhållande som i den inledande delen ovan – men nu utgående från frekvensdomänen, där vi har ett frekvenskontinuerligt spektrum (en fouriertransform) $X(\omega)$ till en tidskontinuerlig signal $x(t)$:

1. När $X(\omega)$ samplas med sampelperioden $\omega_0$ rad/sek, så erhålls det frekvensdiskreta spektrumet $D_n$, som vi känner igen som komplexa fourierseriekoefficienter till en $T_0$-periodisk signal $x_{T_0}(t)$.

2. Som en konsekvens av samplingen i frekvensdomänen, så sker en periodisering i tidsdomänen, sådan att
   $x_{T_0}(t)$ är lika med en skalad periodisk upprepning av $x(t)$. Perioden är lika med $T_0=2\pi/\omega_0$ och är därför proportionell mot 1/sampelperioden (dvs. $T_0\propto1/\omega_0$).

Om spektralsamplingsteoremet är uppfyllt så sker inget överlapp för de periodiska upprepningarna i tidsdomänen.

Från 24:21 undersöks/härleds vad som händer i frekvensdomänen när man samplar en periodisk tidskontinuerlig signal i tidsdomänen.

I tidsdomänen utgår vi från en tidskontinuerlig $T_0$-periodisk signal $x_{T_0}(t)$ som, vilket vi redan känner till, har ett frekvensdisktret spektrum – nämligen de komplexa fourierseriekoefficienterna $D_n$.
(Här används $r$ i stället för $n$ som indexvariabel för de komplexa fourierseriekoefficienterna, eftersom $n$ är “upptagen” – den används som tidsvariabel i tidsdomänen):

1. När $x_{T_0}(t)$ samplas med sampelperioden $T$ sek, så erhålls den tidsdiskreta $N_0$-periodiska signalen $x_n = x_{T_0}(nT)$.

2. Som en konsekvens av samplingen i tidsdomänen, så sker en periodisering i frekvensdomänen, sådan att $X_r$ är lika med en skalad $N_0$-periodisk upprepning av $D_r$.
   Perioden är lika med $N_0=T_0/T$ och är därför proportionell mot 1/sampelperioden (dvs. $N_0\propto1/T$).
   
   Här kan man också, liksom i de två inledande delarna ovan, formulera ett samplingsteorem som beskriver om ett blir överlapp av de periodiska upprepningarna av $D_r$ eller ej, men det fokuserar vi inte på här.
   
   

Några nya centrala resultat:

• $x_n$ definieras som den inversa diskreta fouriertransformen av $X_r$, dvs. $x_n = \text{IDFT}${$X_r$}.
• Både $x_n$ och $X_r$ är $N_0$-periodiska, där följande samband gäller:
  $T_0=N_0\cdot T \Rightarrow \omega_s=N_0\cdot \omega_0$, där $\omega_s=2\pi/T$ är lika med sampelvinkelfrekvensen.
  
  
  

I videons fjärde och avslutande del, från 39:37, undersöks/härleds slutligen vad som händer i den tidsdiskreta tidsdomänen när man samplar ett frekvenskontinuerligt $\omega_s$-periodiskt spektrum $\overline X(\omega)$ i frekvensdomänen. I tidsdomänen har vi en allmän tidsdiskret signal $x[n]$:

1. När $\overline X(\omega)$ samplas med sampelperioden $\omega_0$ rad/sek i $N_0$ sampel per period, så erhålls ett frekvensdiskret $N_0$-periodiskt spektrum, som vi i det föregående avsnittet kallade $X_r$.
2. Som en konsekvens av samplingen i frekvensdomänen, så sker en periodisering i tidsdomänen, sådan att $x_n$ är lika med en periodisk upprepning av $x[n]$.
   Perioden är lika med $N_0=\omega_s/\omega_0$ och är därför proportionell mot 1/sampelperioden (dvs. $N_0\propto1/\omega_0$).
   
   Även här kan man formulera ett spektralsamplingsteorem som beskriver om ett blir överlapp för de periodiska upprepningarna av $x[n]$ eller ej, men det fokuserar vi inte på här.
   
   
   

I videon kommer vi slutligen fram till följande centrala resultat:

• $X_r$ definieras som den diskreta fouriertransformen av $x_n$, dvs. $X_r = \text{DFT}${$x_n$}.
  
  

Följande definition av IDFT och DFT gäller alltså: