Signalenergi och Parsevals formel

Se videon på YouTube

(Nedan finns direktlänkar till olika delar i videon.)

I videon definieras energin för en tidskontinuerlig signal och Parsevals formel härleds. En signal med ändlig energi brukar kallas för en energisignal, vilket inte kom med i videon.

• Signalenergi för en signal – definition (0:00)
• Härledning av Parsevals formel (1:36)
• Parsevals formel och tolkning (7:03)
  
  

Videosammanfattning

Notera den kompletterande texten nedan, i samband med att du tittar på videon!

För de flesta förekommande signaler i kursen brukar det vara lättast att beräkna signalenergin för hela signalen i tidsdomänen.
Man är ofta intresserad av att beräkna signalenergin i ett visst frekvensintervall, eller snarare hur stor andel av signalens energi som finns i ett visst frekvensintervall. Energin beräknas i frekvensdomänen utgående från signalens energispektrum $|X(\omega)|^2$.

Eftersom fouriertransformen är definierad både för negativa och icke-negativa (vinkel-)frekvenser, så innebär det att hälften av signalens energi finns vid negativa(vinkel-)frekvenser och hälften av signalenergin finns vid positiva (vinkel-)frekvenser. Detta på grund av amplitudkaraktäristikens och energispektrumets symmetri, vilket jag talar om i slutet av videon.

Notera dock att det inte finns några fysikaliska negativa (vinkel-)frekvenser – det är bara en matematisk “konstruktion” som medför enklare beräkningar. Kom ihåg vad som gäller vid fourierserieutvecklingen av periodiska signaler:

Genom att (med Eulers inversa formel för cosinus) uttrycka varje cosinusterm i fourierserien på kompakt form som summan av två komplexa exponentialtermer – en med positiv vinkelfrekvens och en med negativ vinkelfrekvens – så erhåller vi fourierserien på _exponentialform_.

Det är genom en motsvarande matematisk omskrivning för energisignaler som vi även här erhåller ett frekvensinnehåll för negativa vinkelfrekvenser, dvs. ett dubbelsidigt spektrum.