Sampling och Rekonstruktion – Inledning

Se videon på YouTube

(Nedan finns direktlänkar till olika delar i videon.)

Denna video tar upp grunderna i sampling och rekonstruktion.
Videon består av följande delar (klicka på tiderna i beskrivningstexten på YouTube för att se respektive avsnitt):

• Realisering av tidskontinuerliga system som tidsdiskreta system (0:00)
  
  
• Tidskontinuerlig samplingsmodell (7:29)
  
  
• Ideal sampling (13:13)
  • Frekvensegenskap vid ideal sampling – härledning av Poissons summationsformel (17:34)
  • Grafisk tolkning av Poissons summationsformel (24:48)
    
    
• Rekonstruktion (26:48)
  • Ideal rekonstruktion (28:48)
  • Praktisk rekonstruktion (30:39)
    
    
• Samplingsteoremet (32:47)
  
  
  

Videosammanfattning

Följ med i videosammanfattningen i samband med att du tittar på videon!

Kursavsnittet och de två videorna om “Sampling och Rekonstruktion” tar upp egenskaper hos samplingen och rekonstruktionen både i tidsdomänen och frekvensdomänen. Det handlar bland annat om skillnaden mellan

• Ideal sampling och praktisk sampling
  samt
• Ideal rekonstruktion och praktisk rekonstruktion,

där de ideala varianterna beskriver vad som är matematiskt möjligt/önskvärt och där de praktiska varianterna handlar om vad man kan erhålla/göra i praktiken, fysikaliskt.

Två centrala frågor, som denna video (om bl.a. ideal sampling & rekonstruktion), nästa video (om praktisk sampling & rekonstruktion) och den relaterade föreläsningen handlar om, är

• Hur kan man sampla utan att förlora någon information om signalen $x(t)$?
• Hur kan man rekonstruera så att den väsentliga informationen i $y[n]$ även finns i den erhållna signalen $y(t)$?
  • Eller mer specifikt: Om man rekonstruerar direkt efter en ideal sampling, dvs. vi låter $y[n] = x[n] = x(nT)$, hur ska rekonstruktionen gå till för att vi ska erhålla $y(t) = x(t)$?

För att besvara dessa frågor, så fokuserar vi på vad som sker i frekvensdomänen – dvs. hur fouriertransformerna av $x(t)$, $x[n]$, $y[n]$ och $y(t)$ ser ut och relateras till varandra.

I blockschemat överst i skärmavbildningen ovan visas, från 0:00, hur man vanligen realiserar/implementerar tidskontinuerliga LTI-system med hjälp av motsvarande tidsdiskreta LTI-system:

1. Först samplas insignalen $x(t)$ för att erhålla en tidsdiskret signal $x[n]=x(nT)$, vilket kan betraktas som en slags A/D-omvandling (Analog-till-Digital).

2. Denna samplade signal (som består av en sekvens av tal/sampelvärden) är sedan insignal till ett tidsdiskret LTI-system som påverkar/filtrerar $x[n]$ på motsvarande sätt som det tidskontinuerliga LTI-systemet skulle ha påverkat/filtrerat $x(t)$.
   Det tidsdiskreta LTI-systemets utsignal är den tidsdiskreta signalen $y[n]$.

3. Därefter sker en s.k. rekonstruktion – en slags D/A-omvandling (Digital-till-Analog) – från den tidsdiskreta signalen $y[n]$ till en motsvarande tidskontinuerlig signal $y(t)$.
   
   

En tidskontinuerlig samplingsmodell (från 7:29)

Vid praktisk sampling, så erhåller man och hanterar den samplade tidsdiskreta signalen $x[n]$. Vid s.k. likformig sampling, så består $x[n]$ av en sekvens med likformigt fördelade sampelvärden från $x(t)$, dvs. $x[n] = x(nT)$, där $T$ är sampelavståndet.

För att undersöka vad som analytiskt händer i frekvensdomänen vid samplingen, så behöver vi ha en tidskontinuerlig_beskrivning/modell $\overline x(t)$ av den tidsdiskreta signalen $x[n]$. Denna tidskontinuerliga representation av $x[n]$ erhålls genom att multiplicera $x(t)$ med någont slags pulståg $p_T(t)$, som består av en följd av tidsförskjutna versioner av en tidskontinuerlig pulsform $p(t)$. Beroende på vilken pulsform $p(t)$ som används, så resulterar det i olika konsekvenser för hur fouriertransformen av $\overline x(t)$, dvs. $\overline X(\omega)$, ser ut.

Det vi önskar är att vi på något sätt ska kunna hitta $\overline X(\omega)$ i $X(\omega)$ (dvs. hitta fouriertransformen av $\overline x(t)$ i fouriertransformen av $x(t)$).

Ideal sampling (från 13:13)

Man kan inte, rent praktiskt/fysikalisk, generera en sampelpulsform $p(t) = \delta(t)$ och följaktligen inte heller “pulståget” $p_T(t) = \delta_T(t)$. När vi ändå här analytiskt undersöker frekvensegenskaperna vid sampling med ett diracpulståg så kallar vi detta för ideal sampling. Notera att den fysikaliskt samplade tidsdiskreta signalen $x[n]$ återfinns som dirac-tågets vikter – dvs. vid $t = nT$ finns en amplitudskalad dirac $x[n] \delta(t-nT)$.

• Frekvensegenskap vid ideal sampling – härledning av Poissons summationsformel (från 17:34)
• Grafisk tolkning av Poissons summationsformel (från 24:48)

OBS: De flesta grundläggande samband finns i formelsamlingen – du behöver främst förstå dem och veta när och hur de ska användas:

Rekonstruktion (från 26:48)

Här bortser vi från en eventuell tidsdiskret filtrering av av den samplade signalen $x[n]$, och utför en direkt rekonstruktion av $x[n]$ (i stället för att rekonstruera en filtrerad signal $y[n]$). Syftet är att vi vill se om vi kan återskapa $x(t)$ från $x[n]$, om samplingen var ideal och vi har uppfyllt samplingsteoremet (kommer sist i videon).

Eftersom vi har tillgång till $\overline x(t)$, den tidskontinuerliga representationen av $x[n]$, så kan vi tänka oss att rekonstruktionssystemet/-blocket är ett tidskontinuerligt LTI-system med impulssvar $h(t)$ och frekvensfunktion $H(\omega)$, samt att det har $\overline x(t)$ som insignal och $y(t)$ som utsignal.

• Ideal rekonstruktion (från 28:48)
  • Den ideala rekonstruktionen betraktas som en ideal lågpassfiltrering i frekvensdomänen, som filtrerar bort alla periodiska upprepningar av $X(\omega)$ i $\overline X(\omega)$. För alla ideala frekvensselektiva filter (LP, HP, BP, BS) gäller att frekvensfunktionen $H(\omega)$ är lika med noll i vissa frekvensband, vilket innebär att motsvarande impulssvar $h(t)$ har en oändlig uträckning, dvs. det är bla. nollskilt för $t<0$. Det innebär i sin tur att systemet är icke-kausalt och därför inte realiserbart.
    
    
• Praktisk rekonstruktion (från 30:39)
  • Vid praktisk rekonstruktion använder man sig av ett realiserbart/fysikaliskt kausalt system, dvs. med $h(t)=0$ för $t<0$. Konsekvensen blir att det blir $H(\omega)$ i stället för $h(t)$ som får en oändlig utbredning, så man vid rekonstruktionsfiltreringen får med en del av de periodiska upprepningarna hos
    $X(\omega)$. I nästa video (“ Praktisk Sampling och Rekonstruktion”) visas hur man kan utföra praktisk rekonstruktion på ett bra sätt.
    
    
• Samplingsteoremet (från 32:47)
  • Samplingsteoremet talar om hur stor sampelfrekvensen behöver vara vid den ideala samplingen för att man ska kunna återskapa $x(t)$ från $x[n]$. Om man väljer för liten sampelfrekvens, så kommer de periodiska upprepningarna av $X(\omega)$ i $\overline X(\omega)$ att överlappa varandra, vilket inte är önskvärt.