LTI-system och frekvenssignaler

Se videon på YouTube

(Nedan finns direktlänkar till olika delar i videon.)

Under en tidigare föreläsning härleddes utsignalen från LTI-system då insignalen är $x(t) = C_0 + \text{cos}(\omega_0 t)$. Även i denna video härleds detta samband – och tillämpas både för periodiska signaler och för energisignaler. Videon är även mer utförlig och baseras mer på fouriertransformen än på ett fourierserieresonemang och visar grafiskt, i ett förtydligande exempel, hur utsignalen filtreras utgående LTI-systemets amplitudkaraktäristik och faskraktäristik.
Du rekommederas därför att åtminstone se den avslutande delen från 22:41 innan föreläsningen där denna video finns refererad, eftersom vi använder detta i slutet av ett större räkneexempel under föreläsningen.

I videon härleds utsignalen från stabila LTI-system då insignalen är en frekvenssignal, samt då insignalen är allmänt periodisk:

• Introduktion (0:00)
  
  
• Utsignalen då insignalen är en
  • komplexvärd exponentialfunktion $e^{j\omega_0t}$ (2:47)
  • konstant $C_0$ (6:54)
  • cosinus $\text{cos}(\omega_0t)$ (9:35)
  • allmän periodisk signal (17:36)
    
    
• Några grafiska exempel på hur systemet påverkar
  • energisignaler – tolkning av det allmänna fallet $|Y(\omega)| = |X(\omega)|\cdot|H(\omega)|$ (22:41)
  • en stationär frekvenssignal $x(t) = 3 + 2\text{cos}(5t)$ (23:33)
  • allmänna periodiska insignaler (26:40)
    
    

Videosammanfattning

Följ med i videosammanfattningen i samband med att du tittar på videon!

Videon börjar med en allmän inledning.
Sedan följer en härledning (avsnittet i skärmdumpen ovan) av utsignalen då insignalen är en

• komplexvärd exponentialfunktion $e^{j\omega_0t}$ (från 2:47)
• konstant $C_0$ (från 6:54)

I de olika skärmdumparna har det lagts till röda streck för att markera det centrala i bilderna. De finns dock inte med i videorna.

Avsnittet/skärmdumpen ovan fortsätter sedan (från 9:35) med en härledning av utsignalen då insignalen är en stationär cosinus, dvs. $x(t) = \text{cos}(\omega_0t)$.

Baserat på de inledande resultaten i videon (utsignalen när insignalen är en konstant plus en stationär cosinus), i kombination med systemets linjäritetsegenskap, så visar jag ovan (från 17:36), vilken utsignal vi får från det stabila LTI-systemet när insignalen är en allmän periodisk signal.

Notera att jag i videon använder ~ i stället för ^ (som jag oftast använder) ovanför $C_0$, $C_n$, $\theta_n$ och $D_n$ hos utsignalens olika fourierseriekoefficienter. Det spelar ingen roll vilken du själv använder, men ^ används i formelsamlingen, på föreläsningarna och i tentor.

Ovan och nedan följer sedan några grafiska exempel på hur systemet påverkar

• Energisignaler – tolkning av det allmänna sambandet $|Y(\omega)| = |X(\omega)|\cdot|H(\omega)|$ (från 22:41)
• En stationär frekvenssignal $x(t) = 3 + 2\text{cos}(5t)$ (från 23:33)
  
  

Hur systemet påverkar allmänna periodiska insignaler (från 26:40) – med en grafisk tolkning av sambandet mellan insignalens och utsignalens komplexa fourierseriekoefficienter.